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中考数学:梯形问题辅助线的添加
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2011 年 4 月 19 日 星期    【打印】  
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中考数学:梯形问题辅助线的添加
□ 市东升二中 柳艳梅
  梯形的相关内容在中考中占有重要的地位,大多数梯形问题都需要添加辅助线。总的来说,梯形问题就是通过添加辅助线,把梯形转化为平行四边形和三角形,然后把问题放在平行四边形和三角形中来解决。下面简单介绍一下梯形常见的辅助线添加方法。

  一、平移梯形的腰

  1.平移一腰,把两腰和上底、下底的差放在一个三角形中。

  例1:如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,∠C=70°, ∠B=40°,

  则AB的长为________。

  图①

  解析:过点A作AE∥DC,交BC于点E,得平行四边形AECD和△ABE,这样,上下底之差和同一底上的两个角就集中在一个三角形内,从而求解。

  解:过点A作AE∥DC,交BC于点E,得平行四边形AECD和△ABE。

  ∵AE∥DC∴∠AEB=∠C=70°

  又∵∠B=40°∴∠BAE=70°

  ∴△BAE为等腰三角形

  ∴AB=BE=BC-CE=BC-AD=4-1=3

  2.同时平移两腰,构建新的特殊三角形。

  例2:如图②,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别为AD、BC的中点,若∠B+∠C=90°,AD=7,BC=15,求EF的长。

  图②

  解析:已知条件中有同一底上的两个角∠B+∠C=90°,充分利用这一条件,把它放在一个三角形中,构成直角三角形,而EF恰为直角三角形的中线,可以利用直角三角形斜边上中线等于斜边长度的一半求出EF的长。

  解:过E作EG∥AB, EH∥DC,分别交BC于G、H,得平行四边形ABGE和平行四边形DCHE。

  ∵∠B+∠C=90°∴∠EGH+∠EHG=90°

  ∴△EGH为Rt△,∵E、F分别为AD、BC的中点∴GF=FH即F为Rt△EGH斜边上的中点∵GH=BC-AD=15-7=8∴EF=GH=4

  小结:只要已知梯形中两腰、两底的长,同一底上的两个角大小等这些条件,加上平移一腰或两腰后构成的三角形是等腰、等边或者直角三角形这些条件,就可以把梯形问题转化为三角形问题。

  二、平移对角线

  过梯形的上底的一个端点作一对角线的平行线,交另一底的延长线上,得平行四边形和三角形,再利用平行四边形和三角形的有关性质解题。

  例3:如图③,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,AC=6,BD=8,求梯形ABCD的高。

  解:设梯形ABCD的高为h,过D点作DE∥AC,交BC的延长线于E,得平行四边形ADEC ∴DE=AC=6∵AC⊥BD, DE∥AC∴∠BDE=90° 在Rt△BDE中,BD=8,DE=6, ∴BE=10 ∵BD·DE=BE·h即8×6=10h∴h=4.8 即梯形ABCD的高为4.8

  图③

  小结:在梯形问题中,只要有两条对角线的大小和位置关系的条件,就用平移一条对角线的办法,把两条对角线、上下底之和放在一个三角形中,就会出现等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形,就可以利用特殊三角形的性质来解决此类问题。

  三、过梯形一腰中点构造全等三角形

  图④

  找出一腰中点,连接顶点和这个中点并延长,与底边延长线相交,构造全等三角形。

  例4:如图④,在梯形ABCD中,AB∥DC, ∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点,求证:CE⊥BE。

  证明:延长CE交BA的延长线于点M

  ∵E是AD的中点∴AE=DE

  又∵∠BAE=∠CDE=∠MAE=90°∠MEA=∠CED

  ∴△MAE≌△CDE

  ∴ME=CE AM=DC

  ∴BM=AB+AM=2+1=3 又∵BC=3

  ∴△BCM为等腰△ 又∵ME=CE ∴BE⊥CM即CE⊥BE

  小结:在梯形中,只要有腰上的中点,采用过中点构造全等三角形,从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中,而这个三角形又是一个特殊三角形,问题就简单了。

  四、作梯形的高

  过梯形较短的底的两端点向另一底所在直线作垂线,把梯形分割成两个直角三角形和一个矩形。

  例5:在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2,AB=8,求梯形ABCD的面积。

  解析:通过作高DE、CF,把这个梯形分割成两个全等的直角三角形和一个矩形,从而求出AE=3,利用勾股定理可以得出DE=4,也就是梯形的高,这道题就迎刃而解了。

  本题解法省略。

  另外,我们还可以采用延长梯形的两腰,构建两个三角形的方法解决一些实际问题。总之,通过添加梯形的辅助线,我们就能化繁为简,轻松解决很多梯形问题。

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